博弈论：为什么不克不及在加时赛中抛硬币
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为什么不克不及在加时赛中抛硬币?
当职业足球同盟在镌汰赛大概奖杯争取赛的比赛中显现平手的时分就会进入加时赛，两支球队轮替举行罚点球直到冲破平手，这时分就用投硬币来决定哪支球队先罚点球。相似的，当在美国的国度职业橄榄球同盟（National Football League (NFL)）比赛显现平手进入加时赛的时分，抛硬币也被用来决定在加时赛中哪支球队优秀攻、哪支球队先防卫。
在这两种活动中，我们可以说，抛硬币是一种有缺陷的做决定的机制，它可以明显地影响到胜负的后果。由于作者关于美式橄榄球比赛愈加熟习，本文就会合讨论这一活动，但是我们会在之后回到足球的情况分析中。
职业橄榄球联赛接纳猜硬币的办法决定谁打击谁防卫。图片由Pierre-Selim提供
NFL中的成绩
在NFL在加时赛中用投掷硬币来决定谁发球谁接球的做法在投掷之前看起来十分的公平，但是投掷之后就显现成绩了。只管投掷硬币的后果是公平的，两支球队得胜的约莫性相反，掷硬币之后猜对的一方享有分明的上风，他们不约而同的选择接球来举行防卫。如此做，在1994到2011的一切赛季中，接球的步队博得了加时赛接近60%的胜率，此中34%赢在了开局。
从2012赛季开头，NFL试着改良这一成绩，接纳射门得分扫除法：防卫队在第一波打击中必需经过达阵（touchdown）得分（6分）而博得比赛，而不是像之前只必要经过射门得分（3分）就可以得胜。也就是必需达阵才干立刻博得比赛。但是完毕第一波打击后，比赛大概会由于立刻殒命而完毕，也就是第一个得分的步队会胜出比赛。
当这一端正使用在2011-2012的季后赛时，两场平手的比赛均由猜对硬币的步队得胜。在2012-2013赛季，显现了23场加时赛（相当于总比赛场数的8%），此中一场以平手完毕。在目行举行过的接纳这一端正的24场非平手后果的加时赛中，只管接纳了射门得分扫除法，此中16场（也就是2/3）由防卫队取得，8场（也就是1/3）由打击队取得。换句话说，猜对投掷硬币的球队均匀来说有2/3的时机博得加时赛。
开局线报价：一个双赢的战略
我们信赖必要一个愈加冒进的处理方案来扫除这种不公平的时机。我们发起的端正使得球队干系于让对方来扮演本人的人物来说愈加满意又本人来扮演这个人物。
一个端正称为公平的，假定这个端正下的每支球队，不管在加时赛开头的时分是打击队照旧防卫队，更乐意扮演本人的人物而不是对方的人物。在这种情况下，每支球队都以为他们比对手处于愈加上风的地点。
这怎样约莫呢？我们的处理方案基于一个与买卖买卖相反的原理，在一宗买卖中，买家和卖家经过告竣商品价格的协议而取得相反的满意度。由于两边的偏好不同—-买家愈加乐意取得商品而不是财帛，而卖家却更乐意取得财帛而不是商品—-买卖告竣了一个双赢的场面。
不是在商品价格上讨价讨价，我们发起球队对开局的场线地点举行议价。不像通常的加时赛的开头，取而代之的是，开头是在一个特定的码线处开头。码线的地点由两边球队的报价的均匀而取得，报价低（它意义将很快会变得明白）的球队作打击方，报价高的球队作防卫方。这一后果使得，干系于处于对方的地点上去说，两边球队都划一水平都愈加满意现处的地点。
为了举行分析，假定球队A开价是20码线，这意味着
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作为打击方，他们渴望从本人的20码线开头，使得他们得带球过80码来得分；
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作为防卫方，他们渴望可以从对方的20码线开头，使得对手要带球过80码才可以得分。
我们称这个为球队A的无不同点，由于从己方的20码线开头打击和从对方的20码线开头防卫，在这一点上他们以为是己方博得比赛的时机是均等的（只管不一定是50-50的时机—这取决于步队本身的相对水平）。我们假定每支球队都有一个无不同点，这个无不同点在面临不同的对手来的时分约莫会有所不同（取决于两边的上风与弱势）。
为了持续分析，假定球队B的无不同点是30码线。均匀两队报价是25码线，从分开时，球队A扮演打击方（由于它给出了低报价20码）球队B将扮演防卫方。
当比赛开头的时分，注意到球队A，作为打击队，距离B队的得分线比本人开出的打击无不同点20码线近了5码，由于他们如今必要带球的距离是75码而不是原本所报价的80码。相反的，球队B的防卫起始线比起他的防卫无不同点30码线远了5码，由于他们必要制止的打击距离是75码而不是原本的70码。
由于每支球队都取得比他们报价而言相反的收益（5码）。这一方案关于两边来说不仅仅这是一个双赢的，并且是公平的—每支球队都划一水平的愈加满意如今的地点而不是对手的地点：假如球队A扮演球队B的人物，他们就得从对方的25码线开头防卫，但是它愈加乐意从对方的20码线就开头防卫。相似地，球队B也更满意本人的地点而不是球队A的地点，这一差距也是5码。
它更有利于最老实的一方
一支球队可不成以一方面偏离本人的真正的无不同点而报一个不朴拙的无不同点从而获益？假定球队A不老实地报价x，这里20x<>，以是它过高的举行了报价。这么做的确对它扮演打击方有利益，由于这使得报价均匀值干系于20来说愈加接近于30。但低报价（x<>）会有坏处，以是它的最优偏离有一个下界。那么,球队A可以从高报价（30）中取得一定水平的好处—它并不晓得这些，由于它并不晓得球队B会报价30。内幕上，由于这个比赛是一种不完备信息的比赛，球队A乃至不克不及够它的报价是低于照旧高于球队B的报价。
底下假定报价x>30。那么球队A就要扮演防卫方，愈加糟糕的是，如此做会使得球队B的挪动距离小于70码就能得分。不仅仅是球队B会比本人的无不同点体现的好，球队A会愈加中意球队B的地点，由于30+远宏大于球队A的无不同点20码。
显然，风险规避，或乃至风险中性的球队有老实报价的动机，由于任何朝向的偏离—某个朝向偏离一定的数值（比如球队A举行低报价），大概别的一个朝向偏离了较大的数值（比如球队A的报价比真实的数值凌驾了10码）—都市带来坏处。因此，在报价游戏中，老实仿佛是一个欺压的战略。
报价在足球比赛中的使用
足球比赛中罚点球是从距离球门11米的罚球线上踢出的。它们通常显如今镌汰赛大概奖杯争取赛中，假如打满90分钟和加时仍旧平手，就必要经过点球决胜负。
由投掷硬币决定由哪支球队先罚点球，然后两队轮替罚点球直到各罚满5球。假如这5球之后仍旧没有任何一支球队取得先机，就要举行到下一步，在这一步中，两支球队轮替罚球，每次罚一球，直到有一队得分抢先而博得比赛。
菲利普·拉姆在2012欧冠赛总决赛中罚球得分。在足球比赛中投硬币被用来决定哪支球队在点球大战中起首罚球。图片来自Markus Unger.
就如在NFL中，猜对硬币的一方有上风：统计表现在点球大战中起首罚球的球队得胜的几率是60%，比拟后罚球的球队拥有3:2大概说50%的上风。但是经过两队关于罚球线的报价，将罚球线定在两个报价的均匀值上，然后报价高的球队取得先罚球的嘉奖，这一做法是有成绩的，由于太接近球门（好比说6米大概更近）大概不是上风反而是弱势。这是由于守门员可以比力容易的经过挪动来防卫来自这么短距离的射门，只管他大概她的反响时间要变得短了。相应的，我们发起报价高的球队先罚球，而报价低的球队将会被要求从标准的11米开头罚球。
是不是两支球队都市选择报价11米？显然不是，由于他们会乐意去报价多1厘米而不影响他们的罚球得分的时机。后果就是，报价一定会以某一队的大于11米而完毕。不明朗的是，比11米大几多才干让本球队在罚球的先后排序上无不同。
仿佛不言而喻的是这个盘算将依托于本球队以及对手的水平，罚球队员、守门员的武艺。但不管每支球队的盘算怎样，报价将会协助提升公平的比赛情况。
结论
我们关于橄榄球加时赛中开头码线报价，大概足球点球大战中罚球线报价的发起，消弭了投掷硬币的偶尔要素。这使得比起对方球队的选择来说，每支球队都相反水平的愈加满意他们本人的选择。
报价竟会给两种活动都添加新的战略元素：在橄榄球比赛中它会制造一个挂念–哪支球队会扮演打击方和防卫方，起始线在什么场合；在足球比赛中哪支球队先罚点球，罚球线在何处。固然橄榄球和足球的球迷会争论说报价并不是一个“地道”的比赛测试，但投掷硬币也不是。在一切的优点中突出的一点，报价会使得球队对他们本人的选择卖力而不是让他们将本人的糟糕体现见责于坏运气。
活动在向愈加公平不休的提高。证据是全美篮球协会（NBA）在1979年设立的三分线来嘉奖远投所必要的分外本事，NFL由1979年开头接纳的两分转换来双倍嘉奖经过飞跑大概投掷而不是踢球得分。在足球比赛中，1970年引进的红黄牌告诫使得球员和教练关于裁判的讯断愈加明白，2012年引入的球门线科技用于推断足球对否穿过球门平面，这些都是这一活动中的创造的例子。我们信赖橄榄球以及足球比赛中加时赛端正的提高演化也是云云。
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